[智力风暴] [微积分] 错在哪里？

马丁

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2011-10-24 18:29

如图，难道可以得出“π=4”的结论？
到底是哪里错了呢？

郁金香

微积分。。。。

diva0122

重复至极限状态，也不是圆。

马丁

微积分。。。。
郁金香 发表于 2011-10-25 04:16

的意思就是，你的回复只能得一个积分儿

fanliuyuan22

因为方法错误，有误差。
正确的推导方法：圆周率PI的推导是以圆内切多边形的周长来推的，因为我们不能得到准确的圆周率值，所以为了消除误差，就用圆内切正n边形的周长来推。随着边数（n）增多，正n边形的周长不断递增，使圆内切正n边形的周长不断向圆周长趋近，直到n取无穷，从而得到圆周率PI。
而此问中用圆外切正方形推导过程中，不规则多边形的周长从来没变过，所以这个周长绝不会变得趋近于圆周长，越向下推导，误差越大，当达到极限状态时，就出现了错误的结论PI=4了。

powercar

膜拜楼上的。

微积分，俺都还给老师了。印象中不是用来推导面积的么，原来推导周长也可以啊

马丁

因为方法错误，有误差。
正确的推导方法：圆周率PI的推导是以圆内切多边形的周长来推的，因为我们不能得到 ...
fanliuyuan22 发表于 2011-10-25 07:41

    亲给出了一种正确的微分方法——用内接多边形的周长来近似圆的周长。但是，如果事先并不知道 π 的值是 3.14，您不能以“不规则多边形的周长从没有变过” 来说明这个过程的错误性啊，因为至少从图上看，趋近于极限的时候，那个缺了很多角的“不规则多边形”的确和圆的样子很象有木有。

    这个图提出的问题不是问正确的方法是什么，而是：这个图的推导方法错在哪里，违背了什么原则。如果我们事先不知道 π 是不是等于 4，按照图中的推论方法，看上去似乎真的可以得到 π=4 的结论呢……

    这是怎么回事呢？

fanliuyuan22

回复 7# 马丁
我们之所以说“趋近”，是因为事物是变化的，它的变化由大到小，走向一个最接近的稳定状态，我们把这个稳定的值求出来，这就是极限。
在这个问题里，众所周知，正方形的周长不等于圆周，在后面的步骤中，虽然分割后图形的面积变了，可它的周长从来没变过。不变的值怎么会“趋近”另一个不变的值呢？
之所以最后会造成这种错觉，是因为在这个过程中有误差，正方形周长与圆周长的差值在不断分割的过程中损耗掉了。
讲“圆内切正N边形”的例子，是为了说明“趋近”的含义，以及与这个问题做对比：
   本题中分割后的图形它的周长没有变；而圆内切正N边形的周长，则是随着边数N的增加在不断递增的，它是一个变化的值，N越大，周长就越接近于圆周，当N达到极限，正N边形的周长就等于圆周长了。

马丁

回复  马丁
...众所周知，正方形的周长不等于圆周...
fanliuyuan22 发表于 2011-10-27 14:03

这个恰好是我们想要推翻的结论，这个图本来就是在误导大家：正方形的周长等于圆周。而这个误导的推理过程，看上去似乎很有说服力。

是的，我们都知道它是错的，我们知道所有的结论。但我们至少不能直接说，因为结论是错的，所以推理过程是错的。我们必须假设：我们不知道 π 是否等于 4，换言之，我们不知道 正方形周长是不是等于其内切圆周长。

万一……当初第一个用微分思想求圆周率的那个人走上的是图中的那条路，我们该怎么告诉他，他的方法是不对的？

fanliuyuan22

回复 9# 马丁
好吧，把那句删除
还是那个原因，不变的值是不能趋近于另一个稳定的值的。
在本题里，圆周长是不变的（设为未知数X），虽然分割的图形面积变化了，但这个分割的图形无论切多少块出去，它的周长都没变过，等于原来的正方形的周长4。
在不知道圆周长X是否等于正方形周长前，我们只能用一个变化的值去接近X，而不是用一个不变的值与X来比较，尤其是用肉眼来观察，因为在操作过程中会有误差，而我们不知道X与4之间的差值：现在我们看到的图形比较小，所以觉得X=4，然而，想一想，当圆形很大的时候，分割后的图形周长是锯齿状的，根本没有和圆周重合。所以这个方法只能得出结论：X<4。

马丁

回复 10# fanliuyuan22


    厚厚，我接受吧。

    用微分来进行近似，忽略掉的不相等部分必须是高阶无穷小，fanliuyuan22上面的回答，缺角正方形的周长 与 圆周长 不相等的部分，是一个常量，并不是 高阶无穷小，所以不能被忽略。